Μια πυθαγόρεια τριάδα αποτελείται από τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς α, β και γ τέτοιοι ώστε να επαληθεύουν το πυθαγόρειο θεώρημα, δηλαδή α² + β² = γ², όπου α, β και γ οι πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου. Υπάρχουν πολλοί τρόποι για την εύρεση τέτοιων τριάδων αλλά εμείς θα παρουσιάσουμε πέντε: την μέθοδο του Ευκλείδη, την μέθοδο του Dickson, δυο μεθόδους με ακολουθίες μικτών κλασμάτων και την μέθοδο της γενικευμένης ακολουθίας Fibonacci.

Μέθοδος Ευκλείδη
Έστω μ και ν δυο ακέραιοι θετικοί αριθμοί με μ > ν τότε:

α = μ² – ν², β = 2⋅μ⋅ν και γ = μ² + ν²

Αν οι αριθμοί μ και ν είναι πρώτοι μεταξύ τους και είναι και διάφοροι του 2, τότε η τριάδα λέγεται πρωτογενείς, δηλαδή δεν είναι πολλαπλάσιο άλλη τριάδας.

Για παράδειγμα, αν επιλέξω μ = 2 και ν = 1 τότε:

α = 2² – 1² = 3, β = 2⋅μ⋅ν = 2⋅2⋅1 = 4 και γ = 2² + 1² = 5 και η πυθαγόρεια τριάδα είναι η (3, 4, 5)

Μέθοδος Dickson
Ο Leonard Eugene Dickson πρότεινε τον εξής τρόπο για την εύρεση πυθαγόρειας τριάδας: Αν βρούμε 3 ακέραιους θετικούς αριθμούς r, s και t που ικανοποιούν την σχέση r² = 2⋅s⋅t τότε:

α = r + s, β = r + t και γ = r + s + t

Αν οι αριθμοί s και t είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε η τριάδα είναι πρωτογενείς.

Για παράδειγμα, αν επιλέξω r = 6, τότε: 6² = 2⋅s⋅t ή s⋅t = 18. Επειδή υπάρχουν 3 ζευγάρια ακέραιων αριθμών που μας κάνουν 18, τα (1, 18), (2, 9) και (3, 6) έχουμε:

α) r = 6, s = 1, t = 18: α = 7, β = 24 και γ = 25
β) r = 6, s = 2, t = 9: α = 8, β = 15 και γ = 17
γ) r = 6, s = 3, t = 6: α = 9, β = 12 και γ = 15 και επειδή το 3 και το 6 δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους, η τριάδα δεν είναι πρωτογενείς. Πράγματι η τριάδα (9, 12, 15) προκύπτει από την τριάδα (3, 4, 5) αν την πολλαπλασιάσουμε με το 3.

Ακολουθία μικτών κλασμάτων του Michael Stifel
Ο Michael Stifel το 1544 μ.Χ. πρότεινε την εξής μέθοδο: Έστω η ακολουθία 1¹⁄₃, 2²⁄₅, 3³⁄₇,.... με γενικό τύπο a_n = n + ⁿ⁄_2n+1. Αν το μικτό κλάσμα το μετατρέψουμε σε απλό κλάσμα, τότε ο αριθμητής ισούτε με την μεγάλη κάθετη πλευρά, ο παρανομαστής ισούτε με την μικρή κάθετη πλευρά και η υποτείνουσα ισούτε με την μεγάλη κάθετη πλευρά αυξημένη κατά 1. Οι τριάδες που παράγονται είναι πρωτογενείς και ανήκουν στην οικογένεια του Πυθαγόρα, δηλαδή η μεγάλη κάθετη πλευρά με την υποτείνουσα διαφέρουν κατά 1.

Για παράδειγμα, αν επιλέξω το μικτό κλάσμα 2²⁄₅ τότε:

2²⁄₅ = ¹²⁄₅ → α = 12, β = 5 και γ = 13

Ακολουθία μικτών κλασμάτων του Jacques Ozanam
Ο Jacques Ozanam το 1694 μ.Χ. πρότεινε την εξής μέθοδο: Έστω η ακολουθία 1⁷⁄₈, 2¹¹⁄₁₂, 3¹⁵⁄₁₆,.... με γενικό τύπο a_n = n + ⁴ⁿ⁺³⁄_4n+4. Αν το μικτό κλάσμα το μετατρέψουμε σε απλό κλάσμα, τότε ο αριθμητής ισούτε με την μεγάλη κάθετη πλευρά, ο παρανομαστής ισούτε με την μικρή κάθετη πλευρά και η υποτείνουσα ισούτε με την μεγάλη κάθετη πλευρά αυξημένη κατά 2. Οι τριάδες που παράγονται είναι πρωτογενείς και ανήκουν στην οικογένεια του Πλάτωνα, δηλαδή η μεγάλη κάθετη πλευρά με την υποτείνουσα διαφέρουν κατά 2.

Για παράδειγμα, αν επιλέξω το μικτό κλάσμα 4¹⁹⁄₂₀ τότε:

4¹⁹⁄₂₀ = ⁹⁹⁄₂₀ → α = 99, β = 20 και γ = 101

Μέθοδος Fibonacci
Αν έχουμε 2 θετικούς αριθμούς h_n, h_n+1 και δημιουργήσουμε μια γενικευμένη ακολουθία Fibonacci ως εξής: h_n + h_n+1 = h_n+2 και h_n+1 + h_n+2 = h_n+3 τότε:

α = 2⋅h_n+1⋅h_n+2, β = h_n⋅h_n+3 και γ = 2⋅h_n+1⋅h_n+2 + h_n². Για παράδειγμα, αν επιλέξω τους αριθμούς h_n = 146, h_n+1 = 237 τότε:

h_n = 146, h_n+1 = 237, h_n+2 = 383 και h_n+3 = 620 και η τριάδα είναι η: α = 181542, β = 90520 και γ = 202858