replicant.gr - Blade Runner and Maths!


Ορισμός του φ

Δύο ποσότητες έχουν αναλογία χρυσής τομής (φ) αν ο λόγος του αθροίσματος τους προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη. Η χρυσή τομή είναι ένας άρρητος αριθμός, δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως λόγος δύο ακεραίων αριθμών και τα πρώτα δέκα ψηφία του αριθμού είναι: 1,6180339887. Η χρυσή τομή αναφέρεται επίσης και ως χρυσός λόγος ή χρυσός κανόνας. Άλλα ονόματα είναι χρυσή μετριότητα και Θεϊκή αναλογία ενώ στον Ευκλείδη ο όρος ήταν άκρος και μέσος λόγος.



Εντυπωσιακή είναι η σύνδεση της χρυσής τομής με την ακολουθία Fibonachi. Στην ακολουθία Fibonachi κάθε όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων. Έτσι, ξεκινώντας με τους αριθμούς 1 και 1 έχουμε: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 κτλ... Αν τώρα, διαιρέσουμε κάθε όρο της ακολουθίας με τον αμέσως προηγούμενο όρο, το γινόμενο θα είναι πολύ κοντά στην τιμή του φ. π.χ. 377 ÷ 233 = 1,6180257510 (ακρίβεια δεκαδικών με τον φ: 4), 610 ÷ 377 = 1,6180371352 (ακρίβεια δεκαδικών με τον φ: 5) κοκ.

Στην τελετή απονομής του βραβείου Abel το 2017 στον Yves Meyer, μίλησε για το έργο του Meyer και ο μαθηματικός Terry Tao. Στην ομιλία του ανέφερε και μια πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα της χρυσής τομής, που ήταν άγνωστη στους περισσότερους από μας: Οι δυνάμεις φ, φ2, φ3, .... της χρυσής τομής, βρίσκονται αναπάντεχα πολύ κοντά σε ακέραιες τιμές. Για παράδειγμα η τιμή φ11 = 199.005.... βρίσκεται πολύ κοντά στον ακέραιο αριθμό 199.

Τα παρακάτω δυο διαγράμματα δείχνουν την διαφορά μεταξύ φn και του πλησιέστερου ακεραίου αριθμού και πως μεταβάλλεται η απόλυτη τιμή |φn – πλησιέστερος ακέραιος|:

Δυνάμεις του φ
Δυνάμεις του φ


Βλέπουμε λοιπόν ότι καθώς η δύναμη αυξάνεται, η τιμή του φn τείνει να ταυτιστεί με τον πλησιέστερο ακέραιο!

Οι αριθμοί που έχουν την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή «η διαφορά της δύναμης αn από τον πλησιέστερο ακέραιο (στην τιμή αn) να μειώνεται εκθετικά καθώς το n αυξάνεται» ονομάζονται αριθμοί Pisot- Vijayaraghavan.

Θέλω να δω τα (από τα 10000000) πρώτα ψηφία του ϕ!

Εάν, δίχως την πρόθεσή μας θίγουμε πνευματικά δικαιώματα, παρακαλούμε για την άμεση ενημέρωσή μας στο: info [at] replicant [dot] gr. Κάθε υπόδειξη, τεκμηριωμένη διόρθωση ή έγγραφη συμπαράσταση είναι ευπρόσδεκτη. Η σχεδίαση του ιστοχώρου βασίστηκε στο δωρεάν υλικό που παρέχει το w3schools τροποποιημένου από τον ix8ys.

Τελευταία ενημέρωση: 27/03/2024