Δύο ποσότητες έχουν αναλογία χρυσής τομής (φ) αν ο λόγος του αθροίσματος τους προς τη μεγαλύτερη ποσότητα είναι ίσος με το λόγο της μεγαλύτερης ποσότητας προς τη μικρότερη. Η χρυσή τομή είναι ένας άρρητος αριθμός, δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως λόγος δύο ακεραίων αριθμών και τα πρώτα δέκα ψηφία του αριθμού είναι: 1,6180339887. Η χρυσή τομή αναφέρεται επίσης και ως χρυσός λόγος ή χρυσός κανόνας. Άλλα ονόματα είναι χρυσή μετριότητα και Θεϊκή αναλογία ενώ στον Ευκλείδη ο όρος ήταν άκρος και μέσος λόγος.
Εντυπωσιακή είναι η σύνδεση της χρυσής τομής με την ακολουθία Fibonachi. Στην ακολουθία Fibonachi κάθε όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων. Έτσι, ξεκινώντας με τους αριθμούς 1 και 1 έχουμε: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610 κτλ... Αν τώρα, διαιρέσουμε κάθε όρο της ακολουθίας με τον αμέσως προηγούμενο όρο, το γινόμενο θα είναι πολύ κοντά στην τιμή του φ. π.χ. 377 ÷ 233 = 1,
6180257510 (ακρίβεια δεκαδικών με τον φ: 4), 610 ÷ 377 = 1,
6180371352 (ακρίβεια δεκαδικών με τον φ: 5) κοκ.
Στην τελετή απονομής του βραβείου Abel το 2017 στον Yves Meyer,
μίλησε για το έργο του Meyer και ο μαθηματικός Terry Tao. Στην ομιλία του ανέφερε και μια πολύ ενδιαφέρουσα ιδιότητα της χρυσής τομής, που ήταν άγνωστη στους περισσότερους από μας: Οι δυνάμεις φ, φ
2, φ
3, .... της χρυσής τομής, βρίσκονται αναπάντεχα πολύ κοντά σε ακέραιες τιμές. Για παράδειγμα η τιμή φ
11 = 199.005.... βρίσκεται πολύ κοντά στον ακέραιο αριθμό 199.
Τα παρακάτω δυο διαγράμματα δείχνουν την διαφορά μεταξύ φ
n και του πλησιέστερου ακεραίου αριθμού και πως μεταβάλλεται η απόλυτη τιμή |φ
n – πλησιέστερος ακέραιος|:
Βλέπουμε λοιπόν ότι καθώς η δύναμη αυξάνεται, η τιμή του φ
n τείνει να ταυτιστεί με τον πλησιέστερο ακέραιο!
Οι αριθμοί που έχουν την παραπάνω ιδιότητα, δηλαδή «η διαφορά της δύναμης α
n από τον πλησιέστερο ακέραιο (στην τιμή α
n) να μειώνεται εκθετικά καθώς το n αυξάνεται» ονομάζονται αριθμοί Pisot- Vijayaraghavan.