Τετραγωνική ρίζα του 2

Η τετραγωνική ρίζα του 2 (√2) είναι ο θετικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 2.

Γεωμετρικά, η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά μήκους 1 (προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα). Ήταν ίσως ο πρώτος γνωστός άρρητος αριθμός. Η ανακάλυψη έγινε πιθανότατα από τον Πυθαγόρειο φιλόσοφο Ίππασσο, ο οποίος μάλλον δολοφονήθηκε με πνιγμό για αυτήν την ανακάλυψη. Σύμφωνα με τους Πυθαγόρειους κάθε αριθμός μπορεί να γραφτεί σε μορφή κλάσματος, η ανακάλυψη του Ίππασου αποδείκνυε ότι αυτό δεν ισχύει. Μετά από μερικά χρόνια οι Πυθαγόρειοι βρήκαν τρόπο να περιγράφουν άρρητους αριθμούς αναδρομικά, ώστε να μοιάζουν με κλάσματα. Για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα του 2 μπορεί να γραφτεί στην εξής αναδρομική κλασματική μορφή:

Τετραγωνική ρίζα του 3

Η τετραγωνική ρίζα του 3 (√3) είναι ο θετικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 3. Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ένας άρρητος αριθμός και είναι επίσης γνωστή ως η σταθερά του Θεοδώρου, από τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο που απέδειξε την αρρητότητά της.

Γεωμετρικά, η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι η διαγώνιος του μοναδιαίου κύβου. Εναλλακτικά, η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου με μήκος πλευράς 2.

Η αναδρομική κλασματική μορφή της √3 είναι:

Τετραγωνική ρίζα του 5

Η τετραγωνική ρίζα του 5 (√5) είναι ο θετικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 5. Η τετραγωνική ρίζα του 5 εμφανίζεται στην κλασματική έκφραση για τη χρυσή αναλογία και πρόκειται για έναν άρρητο αλγεβρικό αριθμό.

Γεωμετρικά, η τετραγωνική ρίζα του 5 είναι η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές 1 και 2.

Η αναδρομική κλασματική μορφή της √5 είναι: